Самый простой пример отправки e-mail на php представлен ниже:
mail("E-mail получателя", "Заголовок", "Текст письма");
Функция mail() возвращает true в случае успешной отправки, либо false при неудачной.
Официальную справку по функции mail() можно прочитать здесь.
Этим примером можно было бы и ограничиться, если нам нужна была простейшая отправка сообщения, однако часто возникает необходимость отправлять не plain/text, а html. В результате будет нужно настраивать заголовки письма.
Другими задачами, которые придется решать будут: смена кодировки, настройка полей "копия", "скрытая копия". Когда понадобится к письму прикрепить файл, то возникнет необходимость дорабатывать ваш скрипт для этой цели.
О том, как выполнить описанные задачи можно прочитать здесь: Отправка почты с помощью PHP
Альтернативой является отправка писем через smtp, при помощи других серверов. Т.е. ваш скрипт авторизируется по smtp протоколу, например на сервере яндекса, и отправляет через него письмо.
Писать такое с нуля можно только в целях саморазвития. Конечно правильнее всего использовать для отправки e-mail уже готовые скрипты, которые заботливо написали для вас другие программисты.
Одним из популярных решений является PHPMailer. В нем есть практически все, что может понадобиться при отправке почты.
О том, как настроить и использовать PHPMailer, есть исчерпывающая статья: Исчерпывающая статья о PHPMailer
Само расширение можно найти здесь: https://github.com/PHPMailer/PHPMailer/
Другим решением, по отправке почты является Swiftmailer.
Найти его можно здесь: https://github.com/swiftmailer/swiftmailer